Question

18．已知抛物线y²=4x，过抛物线焦点且倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线与抛物线交于A、B两点，则|AB|=（　　）

• A． $\frac{11}{3}$
• B． $\frac{14}{3}$
• C． 5
• D． $\frac{16}{3}$

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标F（1，0），用点斜式设出直线方程：y=$\sqrt{3}$（x-1），与抛物线方程联解得一个关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合曲线的弦长的公式，可以求出线段AB的长度．

解答 解：根据抛物线y²=4x方程得：焦点坐标F（1，0），
直线AB的斜率为k=tan$\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$
由直线方程的点斜式方程，设AB：y=$\sqrt{3}$（x-1）
将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x-1）²=4x
整理得：3x²-10x+3=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由一元二次方程根与系数的关系得：${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{10}{3}$，x₁•x₂=1，所以弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\sqrt{1+3}$$\sqrt{{（x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}•{x}_{2}}$=$\frac{16}{3}$．
故选：D．

点评 本题以抛物线为载体，考查了圆锥曲线的弦长问题，属于难题．本题运用了直线方程与抛物线方程联解的方法，对运算的要求较高．利用一元二次方程根与系数的关系和弦长公式是解决本题的关键．