Question

（2012•昌平区一模）已知椭圆C的中心在原点，左焦点为(-

3

，0)，离心率为

3

2

．设直线l与椭圆C有且只有一个公共点P，记点P在第一象限时直线l与x轴、y轴的交点分别为A、B，且向量

OM

=

OA

+

OB

．
求：
（I）椭圆C的方程；
（II）|

OM

|的最小值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据椭圆的左焦点为(-

3

，0)，离心率为

3

2

，建立方程，求得几何量，即可确定椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用直线l与曲线C有且只有一个公共点，确定m，k之间的关系，利用

OM

=

OA

+

OB

，可得|

OM

|=

m2 k2 +m2

，再借助于基本不等式，即可求得最小值及直线的方程．

解答：解：（Ⅰ）由题意，∵左焦点为(-

3

，0)，离心率为

3

2

，
∴c=

3

，e=

c

a

=

3

2

，
∴a=2，于是b²=1，由于焦点在x轴上，故椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1…（5分）
（Ⅱ）设直线l的方程为：y=kx+m（k＜0），A(-

m

k

，0)，B(0，m)

y=kx+m x2 4 +y2=1

消去y得：(

1

4

+k2)x2+2kmx+m2-1=0…（7分）
∵直线l与曲线C有且只有一个公共点，∴△=4k²m²-（1+4k²）（m²-1）=0
即m²=4k²+1①…（9分）
∵

OM

=

OA

+

OB

∴|

OM

|=

m2 k2 +m2

②…（11分）
将①式代入②得：|

OM

|=

1 k2 +4k2+5

≥

2 1 k2 •4k2 +5

=3
当且仅当k=-

2

2

时，等号成立，故|

OM

|min=3，
此时直线方程为：

2

x+2y-2

3

=0．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查基本不等式，综合性强．