Question

10．已知y=f（x）是一次函数，且f（2），f（5），f（4）成等比数列，f（8）=15，设a_n=f（n）（n∈N^*）．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n，并求S_n的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出一次函数解析式，由题意列式求得函数解析式，则等差数列的通项公式可求；
（2）由等差数列的通项公式求得首项和公差，进一步求得前n项和，利用二次函数求得最值．

解答 解：（1）设f（x）=ax+b（a≠0），
则f（2）=2a+b，f（5）=5a+b，f（4）=4a+b，
由f（2），f（5），f（4）成等比数列，得（5a+b）²=（2a+b）（4a+b），整理得：17a+4b=0．
又f（8）=8a+b=15，联立解得：a=4，b=-17．
∴a_n=4n-17；
（2）由a_n=4n-17，得a₁=-13，a₂=-9，∴d=4．
∴${S}_{n}=-13n+\frac{n（n-1）×4}{2}=2{n}^{2}-15n$．
对称轴方程为n=$\frac{15}{4}$，
∵n∈N^*，∴当n=4时，S_n有最小值为-28．

点评 本题考查了函数的性质，考查了等差数列的通项公式和前n项和，是基础题．