Question

【题目】已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离为 ，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）当点P（x0 ， y0）为直线l上的定点时，求直线AB的方程；
（3）当点P在直线l上移动时，求|AF||BF|的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：焦点F（0，c）（c＞0）到直线l：x﹣y﹣2=0的距离 ，解得c=1，

所以抛物线C的方程为x2=4y．

（2）解：设 ， ，

由（1）得抛物线C的方程为 ， ，所以切线PA，PB的斜率分别为 ， ，

所以PA： ①PB： ②

联立①②可得点P的坐标为 ，即 ， ，

又因为切线PA的斜率为 ，整理得 ，

直线AB的斜率 ，

所以直线AB的方程为 ，

整理得 ，即 ，

因为点P（x0，y0）为直线l：x﹣y﹣2=0上的点，所以x0﹣y0﹣2=0，即y0=x0﹣2，

所以直线AB的方程为x0x﹣2y﹣2y0=0．

（3）解：根据抛物线的定义，有 ， ，

所以 = ，

由（2）得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，

所以 = ．

所以当 时，|AF||BF|的最小值为

【解析】（1）利用焦点到直线l：x﹣y﹣2=0的距离建立关于变量c的方程，即可解得c，从而得出抛物线C的方程；（2）先设 ， ，由（1）得到抛物线C的方程求导数，得到切线PA，PB的斜率，最后利用直线AB的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB的方程；（3）根据抛物线的定义，有 ， ，从而表示出|AF||BF|，再由（2）得x1+x2=2x0 ， x1x2=4y0 ， x0=y0+2，将它表示成关于y0的二次函数的形式，从而即可求出|AF||BF|的最小值．