题目内容

已知圆和点(1)若过点有且只有一条直线与圆相切,求正实数的值,并求出切线方程;(2)若,过点的圆的两条弦互相垂直,设分别为圆心到弦的距离.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求两弦长之积的最大值.

(Ⅰ)3(Ⅱ)10

解析试题分析:本题第(1)问,本题考查的是圆的切线方程,即直线与圆方程的应用.(要求过点M的切线l的斜率,关键是求出切点坐标,由M点也在圆上,故满足圆的方程,则易求M点坐标,然后代入圆的切线方程,整理即可得到答案;
第(2)问,由基本不等式可求出两弦长之积的最大值.
解:(1)


∴切线方程为
(Ⅰ)当都不过圆心时,
,则为矩形,

中有一条过圆心时,上式也成立
(Ⅱ)


(当且仅当时等号成立)
考点:直线和圆的方程的应用;点与圆的位置关系.
点评:本题考查直线和圆的方程的应用,着重考查分类讨论思想与转化思想.

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