Question

1．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{2}$，设E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，则F是AC的中点，E为PC 的中点，证明EF∥PA，留言在线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAD；
（2）先证明CD⊥PA，然后证明PA⊥PD．利用直线与平面垂直的判定定理证明PA⊥平面PCD，最后根据面面垂直的判定定理即可得到面PAB⊥面PDC．
（3）利用面面垂直的性质，证明CD⊥平面PAD，计算P-ADC的体积，再计算求四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD．

解答 （1）证明：连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于BD的中点F，F也为AC中点，E为PC中点．
所以在△CPA中，EF∥PA，
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，
所以EF∥平面PAD；
（2）证明：平面PAD⊥平面ABCD
平面PAD∩面ABCD=AD⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PA
正方形ABCD中CD⊥ADPA?平面PADCD?平面ABCD
又PA=PD=$\sqrt{2}$，AD=2，所以PA²+PD²=AD²
所以△PAD是等腰直角三角形，且∠APD=$\frac{π}{2}$，即PA⊥PD．
因为CD∩PD=D，且CD、PD?面PDC
所以PA⊥面PDC
又PA?面PAB，
所以面PAB⊥面PDC．
（3）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
又CD⊥AD，所以CD⊥平面PAD，CD=2，
因为S_△PAD=$\frac{1}{2}×（\sqrt{2}）^{2}$=1
所以V_P-ADC=V_C-PAD=$\frac{1}{3}×1×2$=$\frac{2}{3}$，
所以V_P-ABCD=2V_P-ADC=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定的应用，考查体积的计算，考查逻辑推理能力．