题目内容

11．在半径为10cm的球面上有A，B，C三点，如果AB=8$\sqrt{3}$，∠ACB=60°，则球心O到平面ABC的距离为（　　）
A．2cmB．4cmC．6cmD．8cm

分析 设A、B、C三点所在圆的半径为r，在△ABC中，由正弦定理可求得其外接圆的直径，由此几何体的结构特征知，用勾股定理求球心O到平面ABC的距离即可．

解答 解：设A、B、C三点所在圆的半径为r，由题意在△ABC中，AB=8$\sqrt{3}$cm，∠ACB=60°，
由正弦定理可求得其外接圆的直径为$\frac{8\sqrt{3}}{sin60°}$=16，即半径为r=8cm
 又球心在面ABC上的射影是△ABC外心，
故球心到面的距离，求的半径、三角形外接圆的半径三者构成了一个直角三角形
 设球面距为d，球半径为10cm，
故有d2=102-82=36，
解得d=6cm．
故选C．

点评 本题考点是点、线、面间的距离的计算，考查球中球面距的计算，此类问题建立方程的通常是根据由球面距、球半径、截面圆的半径三者构成的直角三角形，由勾股定理建立函数模型求值

练习册系列答案
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1．如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\sqrt{2}$，设E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；
（3）求四棱锥P-ABCD的体积．
2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上任意一点到两个焦点的距离之和为4，且离心率为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆的右焦点为F，是否存在直线l，使得直线l与椭圆C相交于A，B两点，满足两个条件：①线段AB的中点P在直线x+2y=0上；②△FAB的面积有最大值．如果存在，请求出面积的最大值；如果不存在，请说明理由．
19．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且sin2A+sin2B+sin2C=$\frac{1}{2}$，面积S∈[1，2]，则下列不等式一定成立的是（　　）
A．（a+b）＞16$\sqrt{2}$B．bc（b+c）＞8C．6≤abc≤12D．12≤abc≤24
6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A1，A2，且|A1A2|=4，P为椭圆上异于A1，A2的点，PA1和PA2的斜率之积为-$\frac{3}{4}$．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设O为椭圆中心，M，N是椭圆上异于顶点的两个动点，求△MON面积的最大值．
16．一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为（　　）
A．${C}_{4}^{3}$•${C}_{4}^{4}$B．${C}_{8}^{3}$-${C}_{4}^{3}$C．2${C}_{4}^{1}$•${C}_{4}^{2}$+${C}_{4}^{3}$D．${C}_{8}^{3}$-${C}_{4}^{3}$+1
3．在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线长为9，当△ABC的面积最大时，AB的长为（　　）
A．9$\sqrt{3}$B．9$\sqrt{5}$C．6$\sqrt{3}$D．6$\sqrt{5}$
20．已知函数f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2-2x+3．
（1）如果函数g（x）的单调递减区间为（-1，$\frac{2}{3}$），求函数y=g（x）的图象在点P（-$\frac{1}{2}$，g（-$\frac{1}{2}$））处的切线方程；
（2）若不等式2f（x）≤g′（x）+3恒成立，求实数a的取值范围．
6．如图，在四棱锥A-DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求证：DE⊥平面ACD； 
（Ⅱ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=$\sqrt{3}$，求三棱锥B-ACE的体积；
（Ⅲ）设平面ADE∩平面ABC=直线l，求证：BC∥l．

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