Question

【题目】已知函数．

（1）解不等式；

（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）f（x）≤x+1，即|x﹣1|+|x﹣3|≤x+1．通过①当x＜1时，②当1≤x≤3时，③当x＞3时，去掉绝对值符号，求解即可；

（2）由绝对值不等式性质得，|x﹣1|+|x﹣3|≥|（1﹣x）+（x﹣3）|=2，推出a+b=2．令a+1=m，b+1=n，利用基本不等式转化求解证明即可．

①当时，不等式可化为，．

又∵，∴；

②当时，不等式可化为，．

又∵，∴．

③当时，不等式可化为，．

又∵，∴．

综上所得，．

∴原不等式的解集为．

（2）证明：由绝对值不等式性质得，，

∴，即．

令，，则，，，，

，

原不等式得证．