Question

6．下列说法正确的是（　　）

• A． 函数y=x+$\frac{2}{x}$的最小值为2$\sqrt{2}$
• B． 函数y=sinx+$\frac{2}{sinx}$（0＜x＜π）的最小值为2$\sqrt{2}$
• C． 函数y=|x|+$\frac{2}{|x|}$的最小值为2$\sqrt{2}$
• D． 函数y=lgx+$\frac{2}{lgx}$的最小值为2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 A．x＜0时无最小值；
B．令sinx=t，由0＜x＜π，可得sinx∈（0，1），即t∈（0，1]，令f（t）=t+$\frac{2}{t}$，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；
C．令|x|=t＞0，令f（t）=t+$\frac{2}{t}$，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出；
D．当0＜x＜1时，lgx＜0，无最小值．

解答 解：A．x＜0时无最小值；
B．令sinx=t，∵0＜x＜π，∴sinx∈（0，1），即t∈（0，1]，令f（t）=t+$\frac{2}{t}$，f′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}}$＜0，∴函数f（t）在t∈（0，1]上单调递减，∴f（t）≥f（1）=3．因此不正确．
C．令|x|=t＞0，令f（t）=t+$\frac{2}{t}$，f′（t）=1-$\frac{2}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-2}{{t}^{2}}$=$\frac{（t+\sqrt{2}）（t-\sqrt{2}）}{{t}^{2}}$，∴函数f（t）在t∈（0，$\sqrt{2}$]上单调递减，在t∈[$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增，∴f（t）≥f（$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$．因此f（t）的最小值为2$\sqrt{2}$，因此正确．
D．当0＜x＜1时，lgx＜0，无最小值，因此不正确．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、利用导数研究函数的单调性极值与最值、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．