题目内容
【题目】设
为实数，函数
．
（1）若
，求的取值范围；
（2）讨论
的单调性；
（3）当
时，讨论
在区间
内的零点个数．
【答案】(1) 
.
(2) 
在
上单调递增，在
上单调递减.
(3) 当
时，
有一个零点
；当
时，有两个零点.
【解析】
试题分析：（1）先由
可得
，再对
的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数
的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定
在区间
内的零点个数．
试题解析：（1）
，因为
，所以，
当
时，
，显然成立；当
，则有
，所以
.所以
.
综上所述，的取值范围是
.
（2）
对于
，其对称轴为
，开口向上，
所以
在
上单调递增；
对于
，其对称轴为
，开口向上，
所以在
上单调递减.
综上所述，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由（2）得在上单调递增，在
上单调递减，所以
.
(i)当
时，
，
令
，即
（
）.
因为在
上单调递减，所以
而
在上单调递增，
，所以
与在无交点.
当
时，
，即
，所以
，所以
，因为，所以
，即当时，有一个零点.
(ii)当
时，，
当
时，
，
，而在上单调递增，
当
时，
.下面比较与
的大小
因为
所以
结合图象不难得当时，
与有两个交点.
综上所述，当时，有一个零点；当时，有两个零点.
【题目】某大学为调研学生在A，B两家餐厅用餐的满意度，从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了100人，每人分别对这两家餐厅进行评分，满分均为60分．
整理评分数据，将分数以
为组距分成
组： 
， 
， 
， 
， 
， 
，得到A餐厅分数的频率分布直方图，和B餐厅分数的频数分布表：
B餐厅分数频数分布表 | |
分数区间 | 频数 |
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定义学生对餐厅评价的“满意度指数”如下：
分数 |
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满意度指数 |
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（Ⅰ）在抽样的100人中，求对A餐厅评价“满意度指数”为
的人数；
（Ⅱ）从该校在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取1人进行调查，试估计其对A餐厅评价的“满意度指数”比对B餐厅评价的“满意度指数”高的概率；
（Ⅲ）如果从A，B两家餐厅中选择一家用餐，你会选择哪一家？说明理由．
【题目】市政府为了节约用水，调查了100位居民某年的月均用水量（单位：
），频数分布如下：
分组 |
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频数 | 4 | 8 | 15 | 22 | 25 | 14 | 6 | 4 | 2 |
（1）根据所给数据将频率分布直图补充完整（不必说明理由）；
（2）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的中位数；
（3）根据频率分布直方图估计本市居民月均用水量的平均数（同一组数据由该组区间的中点值作为代表）.
