Question

定义max{a，b}=

a  a≥b b  a＜b

，设实数x，y满足约束条件

|x|≤2 |y|≤2

，z=max{4x+y，3x-y}，则z的取值范围是

-7≤Z≤10

．

Answer 1

分析：先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（4x+y）与（3x-y）相等的分界线x+2y=0，令z=4x+y时，点（x，y）在四边形MNCD上及其内部，求得z范围；令z=3x-y，点（x，y）在四边形ABNM上及其内部（除AB边）求得z范围，将这2个范围取并集可得答案．

解答：解：当4x+y≥3x-y时可得x+2y≥0
则原题可转化为：当

|x|≤2 |y|≤2 x+2y≥0

，Z=4x+y
作出不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分的MDCN，作直线l₀：4x+y=0然后把直线l₀向可行域平移
则可知直线平移到C（2，2）时Z_max=10，平移到点N（-2，1）时Z_min=-6
此时有-6≤z≤10

当

|x|≤2 |y|≤2 x+2y＜0

，Z=3x-y
作出不等式组所表示的平面区域如图所示的ABNM作直线l₀：3x-y=0，然后把直线3x-y=0向可行域平移
则可知直线平移到M（-2，1）时Z_min=-7，平移到点B（2，-2）时，Z_max=8
此时有-7≤z≤8
综上可得，-7≤Z≤10

点评：本题表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=4x+y还是z=3x-y并没有明确确定下来，直线x+2y=0又将原可行域分为两部分．解题的关键是通过比较4x+y与3x-y的大小，同时目标函数及可行域都将发生变化．此题构思比较巧妙．