题目内容

【题目】线段AB为圆的一条直径,其端点AB在抛物线 上,且AB两点到抛物线C焦点的距离之和为11.

1)求抛物线C的方程及直径AB所在的直线方程;

2)过M点的直线l交抛物线CPQ两点,抛物线CPQ处的切线相交于N点,求面积的取值范围.

【答案】1;(2.

【解析】

1)利用抛物线的定义可求出,再利用点差法求出直线的斜率,结合直线过圆心,利用点斜式即可求出直线的方程:

2)不妨设,直线的方程为,与抛物线方程联立,利用韦达定理和弦长公式可求出,再利用导数的几何意义求出抛物线的切线方程,把点代入切线的方程得,同理可得:,故 为一元二次方程的两根,再次利用韦达定理得,所以点到直线的距离,所以,故当时,的面积取得最小值,最小值为27.

解:(1)设,抛物线的焦点为F

抛物线C的方程为:

,两式相减得:

直线AB的斜率为﹣1

M方程:化为坐标方程为:

直线AB过圆心

直线AB的方程为:,即

2)不妨设

直线l的方程为

联立方程,消去y得:

抛物线C的方程为

抛物线C的切线方程为:

在切线PN上,

,即

同理可得:

为一元二次方程的两根,

,又

N到直线PQ的距离

时,的面积取得最小值,最小值为27

面积的取值范围为:.

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