题目内容
【题目】已知数列
的通项公式为
.求所有的正整数
，使得数列的前项能分成两部分，这两部分的和相等.
【答案】
【解析】
易知，
为等差数列，且
.
要使数列前
项能分为和相等的两部分，则
能被2整除.
所以，
或
.
（1）. 则
.
由
，知从这
组数中抽出
组作为一部分，其余的为另一部分，可使这两部分的和相等.
（2）. 则
.
设第一部分有
项，第二部分有
项
，两部分的和分别为
、
.
若
，则
，
.
所以
，即
为3的倍数.
又
为奇数，故为奇数.
设
. 则
，
.
又
，
，
，
从而，应满足
.
当
，且
时，
.
因为
，将第1项和第50项交换，所以，两部分的和相等，即将第2项至第50项分为一部分，其余的分为另一部分，则两部分的和相等.
当
，且
时，可将表示为
.
于是，前95项按照划分，后
项按照（1）的方法划分. 这样的两部分的和相等.
综上，
.
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