题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数
的最小值;
(Ⅱ)讨论函数的零点个数.
【答案】(I);(II)详见解析.
【解析】
(Ⅰ)当时,
,求得
,得出函数的单调性,即可求解函数的极小值.
(Ⅱ)当,方程
的
,则方程有两个不相等的实数根,记为
,
,得函数
的减区间为
,增区间为
,求得函数的最小值,没有零点;当
时,函数
仅有一个零点为
;当
时,得函数
的增区间为
,减区间为
,求得
,由此时函数
有两个零点,即可得到答案.
解:(Ⅰ)当时,
,令
可得
.
故函数的增区间为
,减区间为
故当时,函数
的最小值为
.
(Ⅱ)由
∵,方程
的
,则方程
有两个不相等的实数根,记为
,
,
则,
,有
,故函数
的减区间为
,增区间为
,有
当时,
,又函数
单调递减,
(1)当时,
,此时
,函数
没有零点;
(2)当时,函数
仅有一个零点为
;
(3)当时,有
,
由,有
令,有
,故函数
的增区间为
,减区间为
,
由,可得不等式
(当且仅当
时取等号)成立
故有当时,
,
则此时函数有两个零点.
由上知时,函数
有一个零点;
当时,函数
有两个零点;
当时函数
没有零点.
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