Question

等比数列{a_n}中，已知a₁=2，a₄=16．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，试求数列{b_n}的通项公式和前n项之和S_n及S_n的最小值．

Answer 1

分析：（1）先根据a₁=2，a₄=16求q，进而根据等比数列的求和公式，求得数列{a_n}的通项公式．
（2）先根据（1）中求得的数列{a_n}的通项公式求出a₃，a₅的值，再根据a₃，a₅分别为等差数列{b_n}的第3项和第5项，求出b₁和d，进而根据等差数列的求和公式，求得数列{b_n}的通项公式，再利用等差数列的前n项和是n的二次函数，求出最小值．

解答：解：（1）设{a_n}的公比为q，
依题意有：16=2•q3，
∴q=2
∴a_n=2×2^n-1
（2）由（1）有a₃=8，a₅=32
∴b₃=8，b₅=32
设{b_n}的公差为d，
∴b₁+2d=8，b₁+4d=32，∴b₁=-16，d=12
∴b_n=-16+12（n-1）=12n-28
∴S_n=

(b1+b2)n

2

=

(-16+12n-28 )n

2

=6n²-22n
=6(n-

11

6

)2-

121

6

，n∈N^*
于是当n=2时S_n的最小值S₂，等于-20

点评：本题主要考查了等差，等比数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式，属基础题．