Question

【题目】若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“和谐函数”:

（1）任意恒成立;

（2）任意且，都有

以下四个函数:①；②；③；④中是“和谐函数”的为________________（写出所有正确的题号）.

Answer 1

【答案】③④

【解析】

先由单调性以及奇偶性定义得到 “和谐函数”满足的条件，再以此为依据，分别判断奇偶性以及单调性，即可判断.

任意恒成立，则任意

即函数在上为奇函数

取，因为任意且，都有，所以在上增函数

①函数的定义域为，故①不是和谐函数；

②，令

，则函数在上为奇函数，但，即不是增函数，故②不是和谐函数；

③令，定义域为，则函数在上为奇函数；

设，

因为，所以，即

所以函数在上为增函数，故③为和谐函数；

④令，定义域为

，则函数在上为奇函数；

设，

因为，，所以

即

即函数在上为增函数，故④是和谐函数；

故答案为：③④