Question

1．已知a²+b²=c²，c≠0，则$\frac{b}{a-2c}$=[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

Answer 1

分析 实数a，b，c满足a²+b²=c²，c≠0，化为$（\frac{a}{c}）^{2}+（\frac{b}{c}）^{2}$=1，令$\frac{a}{c}$=cosθ，$\frac{b}{c}$=sinθ，θ∈[0，2π）．可得k=$\frac{b}{a-2c}$=$\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}-2}$=$\frac{sinθ}{cosθ-2}$，表示点P（2，0）与圆x²+y²=1上的点连线的在的斜率．利用直线与圆的位置关系即可得出．

解答 解：∵实数a，b，c满足a²+b²=c²，c≠0，
∴$（\frac{a}{c}）^{2}+（\frac{b}{c}）^{2}$=1，
令$\frac{a}{c}$=cosθ，$\frac{b}{c}$=sinθ，θ∈[0，2π）．
∴k=$\frac{b}{a-2c}$=$\frac{\frac{b}{c}}{\frac{a}{c}-2}$=$\frac{sinθ}{cosθ-2}$，表示点P（2，0）与圆x²+y²=1上的点连线的直线的斜率．
设直线l：y=k（x-2），则$\frac{|-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤1，解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{b}{a-2c}$的取值范围为[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．
故答案为：[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了三角函数换元法、直线的斜率计算公式、直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式，考查了转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．