Question

【题目】设x，y∈R，定义xy=x（a﹣y）（a∈R，且a为常数），若f（x）=ex ， g（x）=e﹣x+2x2 ， F（x）=f（x）g（x）．
①g（x）不存在极值；
②若f（x）的反函数为h（x），且函数y=kx与函数y=|h（x）|有两个交点，则k= ；
③若F（x）在R上是减函数，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]；
④若a=﹣3，在F（x）的曲线上存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
其中真命题的序号有 ． （把所有真命题序号写上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：∵xy=x（a﹣y），f（x）=ex，g（x）=e﹣x+2x2，

∴F（x）=f（x）g（x）=ex（a﹣e﹣x﹣2x2），

则F′（x）=﹣ex（2x2+4x﹣a），

当2x2+4x﹣a=0的△＞0时，g（x）即有极大值，又有极小值，故①错误；

∵f（x）的反函数为h（x），

∴h（x）=lnx，若函数y=kx与函数y=|h（x）|有两个交点，

则y=kx与函数y=lnx，（x＞1）相切，

此时切点为（e，1），切线斜率为 ；

故②正确；

若F（x）在减函数，则F′（x）≤0对于x∈R恒成立，

即﹣ex（2x2+4x﹣a）≤0恒成立，

∵﹣ex＜0，

∴2x2+4x﹣a≥0恒成立，

∴△=16﹣8（﹣a）≤0，

∴a≤﹣2；

即实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]，故③正确；

④当a=﹣3时，F（x）=﹣3ex﹣1﹣2x2ex，

设P（x1，y1），Q（x2，y2）是F（x）曲线上的任意两点，

∵F′（x）=﹣ex（2x2+4x+3）

=﹣ex[2（x+1）2+1]＜0，

∴F′（x1）F′（x2）＞0，

∴F′（x1）F′（x2）=﹣1 不成立．

∴F（x）的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直．

故④错误；

故真命题的序号为：②③，

所以答案是：②③

【考点精析】本题主要考查了命题的真假判断与应用的相关知识点，需要掌握两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系才能正确解答此题．