题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线与曲线的公切线的方程;
(2)设函数的两个极值点为,求证:关于的方程有唯一解.
【答案】(1)(2)见解析
【解析】
(1)求两条曲线的公切线,分别求出各自的切线,然后两条切线为同一条直线,结合两个方程求解;
(2)要证明关于的方程有唯一解,只要证明即可,由于当时,单调递增,不可能有两个零点,故不可能有两个极值点,故,利用得,又,接下来只要证明,即,令,则只要证明即可,用导数即可证明.
(1)曲线在切点处的切线方程为
,即,
曲线在切点处的切线方程为
,即,
由曲线与曲线存在公切线,
得,得,即.
令,则,
,解得,∴在上单调递增,
,解得,∴在上单调递减,
又,∴,则,
故公切线方程为.
(2)要证明关于的方程有唯一解,
只要证明,
先证明:.
∵有两个极值点,
∴有两个不同的零点,
令,则,
当时,恒成立,∴单调递增,不可能有两个零点;
当时,,则,∴在上单调递增,
,则,∴在上单调递减,
又时,,时,,
∴,得,∴.
易知,
由,得,,
∴.
下面再证明:.
,
令,则只需证,
令,
则,
∴,得.
∴有唯一解.
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