Question

7．设$\overrightarrow{a}$=（-1，1 ），$\overrightarrow{b}$=（ 4，3 ），$\overrightarrow{c}$=（ 5，-2 ），
（1）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦值；      
（2）求λ₁和λ₂，使$\overrightarrow{c}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积公式求夹角；
（2）利用坐标表示$\overrightarrow{c}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{b}$，利用线段相等得到关于两个参数的方程组解之．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}$=（-1，1），$\overrightarrow{b}$=（4，3）
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-1×4+1×3=-1，|$\overrightarrow{a}$|=$\sqrt{2}$，|$\overrightarrow{b}$|=5，…（4分）
∴cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{-1}{5\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$．…（6分）
（2）∵$\overrightarrow{c}$=λ₁$\overrightarrow{a}$+λ₂$\overrightarrow{b}$．
∴（5，-2）=λ₁（-1，1）+λ₂（4，3）=（-λ₁+4λ₂，λ₁+3λ₂） …（8分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{-{λ}_{1}+4{λ}_{2}=5}\\{{λ}_{1}+3{λ}_{2}=-2}\end{array}\right.$…．…（10分）
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{λ}_{1}=-\frac{23}{7}}\\{{λ}_{2}=\frac{3}{7}}\end{array}\right.$…（12分）

点评 本题考查了利用平面向量的数量积的坐标表示求向量的夹角以及利用向量相等其参数；属于经常考查题型．