Question

12．已知a＞0，b＞0，c＞0，且a+b+c=1．
（Ⅰ）若a=b=c，则（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）的值为8；
（Ⅱ）求证：（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a=b=c=$\frac{1}{3}$，代入计算可得；
（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2$\sqrt{ab}$＞0，a+c≥2$\sqrt{ac}$＞0，b+c≥2$\sqrt{bc}$＞0，三式相乘结合题意变形可得．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得a=b=c=$\frac{1}{3}$，
代入计算可得（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）=2×2×2=8；
（Ⅱ）由题意和基本不等式可得a+b≥2$\sqrt{ab}$＞0，
a+c≥2$\sqrt{ac}$＞0，b+c≥2$\sqrt{bc}$＞0，
∴（a+b）（a+c）（b+c）≥2$\sqrt{ab}$•2$\sqrt{ac}$•2$\sqrt{bc}$=8abc，
又a＞0，b＞0，c＞0，∴$\frac{（a+b）（a+c）（b+c）}{abc}$≥8
又a+b+c=1，∴$\frac{（1-a）（1-b）（1-c）}{abc}$≥8
∴$\frac{1-a}{a}$•$\frac{1-b}{b}$•$\frac{1-c}{c}$≥8，
∴（$\frac{1}{a}$-1）（$\frac{1}{b}$-1）（$\frac{1}{c}$-1）≥8

点评 本题考查基本不等式，涉及不等式的证明，属中档题．