题目内容
16.已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)(1)求函数f(x)在(0,f(0))处的切线方程;
(2)若对于任意的x∈(0,2),不等式f(x)>ax恒成立,求实数a的取值范围.
分析 (1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,即可得到所求切线的方程;
(2)由题意可得a+1<$\frac{{e}^{x}}{x}$在(0,2)恒成立,求出g(x)=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数和单调区间,可得最小值,即可得到a的范围.
解答 解:(1)函数f(x)=ex-x的导数为f′(x)=ex-1,
即有f(x)在(0,f(0))处的切线斜率为e0-1=0,
切点为(0,1),则f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=1;
(2)对于任意的x∈(0,2),不等式f(x)>ax恒成立,
即为a+1<$\frac{{e}^{x}}{x}$在(0,2)恒成立,
由g(x)=$\frac{{e}^{x}}{x}$的导数为$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}}{{x}^{2}}$,
当0<x<1时,g′(x)<0,g(x)递减;
当1<x<2时,g′(x)>0,g(x)递增.
即有x=1处取得最小值,且为e,
则a+1<e,可得a<e-1.
即有a的取值范围是(-∞,e-1).
点评 本题考查导数的运用:求切线的方程和单调区间、极值和最值,考查不等式恒成立问题的解法,属于中档题.
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