题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，曲线
是由两个定点
和点
的距离之积等于
的所有点组成的，对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线上所有的点都在单位圆
内；③曲线是中心对称图形；④曲线上所有点的纵坐标
.其中，所有正确结论的序号是______.
【答案】①③
【解析】
由题意曲线
是平面内与两个定点
和
的距离的积等于常数2，利用直接法，设动点坐标为
，及可得到动点的轨迹方程，然后由方程特点即可加以判断即可.
由题意设动点坐标为，
利用题意及两点间的距离公式的得：
，
方程中的
被
代换，
被
代换，方程不变，故关于轴对称和轴对称，同时关于原点对称，故曲线是轴对称图形和中心对称图形，故①③正确；
可得，
，即
，解得
，
∴曲线上点的横坐标的范围为
，故②错误；
对于④令
可得，
，
曲线上点的纵坐标的范围为
，故④错误；
故答案为：①③
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