题目内容

19.数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+$\frac{1}{2}$an=1,则数列{an}的通项公式为an=$\frac{2}{{3}^{n}}$.

分析 在Sn+$\frac{1}{2}$an=1①,令n=1可得a1=$\frac{2}{3}$.再由当n≥2时,Sn-1+$\frac{1}{2}$an-1=1②,用①减去②可得an=$\frac{1}{3}$an-1,数列{an}是以$\frac{2}{3}$为首项,以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列,由此可得数列{an}的通项公式.

解答 解:∵数列{an}的前n项和为Sn,Sn+$\frac{1}{2}$an=1①,令n=1可得a1=$\frac{2}{3}$.
再由当n≥2时,Sn-1+$\frac{1}{2}$an-1=1②,
①减去②可得 an+$\frac{1}{2}$an-$\frac{1}{2}$an-1=0,
∴an=$\frac{1}{3}$an-1
故数列{an}是以$\frac{2}{3}$为首项,以$\frac{1}{3}$为公比的等比数列,故an=$\frac{2}{3}$×($\frac{1}{3}$)n-1=$\frac{2}{{3}^{n}}$,
故答案为:an=$\frac{2}{{3}^{n}}$.

点评 本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系,等比数列的通项公式,属于基础题.

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