题目内容
【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面,侧棱长是 ,D是AC的中点.
(1)求证:B1C∥平面A1BD;
(2)求二面角A1﹣BD﹣A的大小;
(3)求直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值.
【答案】
(1)解:设AB1与A1B相交于点P,连接PD,则P为AB1中点,
∵D为AC中点,∴PD∥B1C.
又∵PD平面A1BD,B1C平面A1BD
∴B1C∥平面A1BD
(2)解:∵正三棱住ABC﹣A1B1C1,
∴AA1⊥底面ABC.
又∵BD⊥AC
∴A1D⊥BD
∴∠A1DA就是二面角A1﹣BD﹣A的平面角.
∵AA1= ,AD=
AC=1
∴tan∠A1DA=
∴∠A1DA= ,即二面角A1﹣BD﹣A的大小是
(3)解:由(2)作AM⊥A1D,M为垂足.
∵BD⊥AC,平面A1ACC1⊥平面ABC,平面A1ACC1∩平面ABC=AC
∴BD⊥平面A1ACC1,
∵AM平面A1ACC1,
∴BD⊥AM
∵A1D∩BD=D
∴AM⊥平面A1DB,连接MP,则∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的角.
∵AA1= ,AD=1,∴在Rt△AA1D中,∠A1DA=
,
∴AM=1×sin60°= ,AP=AB1=
.
∴sin∠APM=
∴直线AB1与平面A1BD所成的角的正弦值为
【解析】(1)由题意及题中P为AB1中点和D为AC中点,中点这样信息,得到线线PD∥B1C平行,在利用PD平面A1BD线面平行,利用线面平行的判定定理得到线面B1C∥平面A1BD平行;(2)有正三棱柱及二面角平面角的定义,找到二面角的平面角,然后再三角形中解出二面角的大小;(3)利用条件及上两问的证题过成找到∠APM就是直线A1B与平面A1BD所成的线面角,然后再三角形中解出即可.
【考点精析】通过灵活运用直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角,掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行;已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
即可以解答此题.
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