题目内容
【题目】设函数f（x）=kax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x2+2x）+f（x﹣4）＞0的解集；
（2）若f（1）= 
，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．
【答案】
（1）解：∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k﹣1=0，即k=1，
故f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a﹣ 
＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=axlna+ 
∵a＞1，∴lna＞0，而ax+ 
＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增
原不等式化为：f（x2+2x）＞f（4﹣x），
∴x2+2x＞4﹣x，即x2+3x﹣4＞0
∴x＞1或x＜﹣4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜﹣4}
（2）解：∵f（1）= 
，∴a﹣ = ，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2或a=﹣ 
（舍去）．
∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．
令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数
∵x≥1，∴t≥f（1）= ，
令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2 （t≥ ）
若m≥ ，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2
若m＜ ，当t= 时，h（t）min= 
﹣3m=﹣2，
解得m= 
＞ ，舍去
综上可知m=2
【解析】（1）根据f（x）是定义域为R的奇函数，可得k=1，从而f（x）=ax﹣a﹣x（a＞0，且a≠1），利用f（1）＞0，可得a＞1，从而可证f（x）在R上单调递增，故原不等式化为x2+2x＞4﹣x，从而可求不等式的解集；（2）根据f（1）= 确定a=2的值，从而可得函数g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x ， 由（1）可知f（x）=2x﹣2﹣x为增函数，可得t≥f（1）= ，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥ ），分类讨论，利用最小值为﹣2，可求m的值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用奇偶性与单调性的综合的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．
