题目内容
【题目】过轴正半轴上的动点
作曲线
:
的切线,切点为
,
,线段
的中点为
,设曲线
与
轴的交点为
.
(1)求的大小及
的轨迹方程;
(2)当动点到直线
的距离最小时,求
的面积.
【答案】(1);
;(2)
.
【解析】
(1)设过点,斜率为
的直线
的方程为
,代入
得
,由相切得
,同时得到切点坐标为
,设切线
,
的斜率分别为
,
,则可得
,同时得出切点
的坐标,利用
计算
可得
.再由
两点坐标得中点
坐标,消去参数可得
点轨迹方程;
(2)由点到直线距离公式求得到直线
的距离后可得其最小值及此时
点坐标,
点坐标,从而得直线
方程,代入已知抛物线方程应用韦达定理可求得弦长
,再求出
到直线
的距离后可得三角形面积.
解:(1)设过点,斜率为
的直线
的方程为
,
代入得
,
当直线和抛物线相切时,有,即
,此时切点坐标为
.
设切线,
的斜率分别为
,
,则
,
,
相应点的坐标为,
,
,
所以,所以
.
中点的横坐标为
,
纵坐标为,
所以的轨迹方程为
.
(2)动点到直线
的距离为
,
当且仅当时取等号,此时
,
,
∴由(1)得中点
坐标是
,设
,则由
得
,所以
,
所以直线的方程为
,即
,代入曲线
的方程得
,则
,
.
,
点到直线
的距离为
,
所以的面积为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某市居民用天然气实行阶梯价格制度,具体见下表:
阶梯 | 年用气量(立方米) | 价格(元/立方米) |
第一阶梯 | 不超过228的部分 | 3.25 |
第二阶梯 | 超过228而不超过348的部分 | 3.83 |
第三阶梯 | 超过348的部分 | 4.70 |
从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况,得到统计表如下:
居民用气编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
年用气量(立方米) | 95 | 106 | 112 | 161 | 210 | 227 | 256 | 313 | 325 | 457 |
(1)求一户居民年用气费y(元)关于年用气量x(立方米)的函数关系式;
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户,求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望;
(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况,现从全市中依次抽取10户,其中恰有k户年用气量不超过228立方米的概率为,求
取最大值时的值.