Question

已知椭圆的中心为原点，长轴长为，一条准线的方程为.
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）射线与椭圆的交点为，过作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于 两点（两点异于）．求证：直线的斜率为定值．

Answer 1

（Ⅰ）椭圆标准方程为：；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）由题设可得，解这个方程组，便可得的值.再利用求出，便得椭圆的标准方程．
（Ⅱ）首先求出点M的坐标（这是一个确定的点）.过M作两条直线，这两条直线是不定的，是动直线，就用点斜式把这两条直线的方程表示出来，然后分别与椭圆方程联立，可解出A、B两点的坐标，然后用斜率公式求出直线的斜率．
试题解析：（Ⅰ）由准线为知焦点在轴上，则可设椭圆方程为：．
由得：，所以椭圆标准方程为：．
（Ⅱ）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（，2）．直线MA方程为，直线MB方程为．
分别与椭圆方程联立，可解出，.
∴．  ∴（定值）．