Question

已知F₁，F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1，

2

2

）在椭圆上，且

PF1

•

F1F2

=0，⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当

OA

•

OB

=λ，且满足

2

3

≤λ≤

3

4

时，求弦长|AB|的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，易得PF₁⊥F₁F₂，进而可得c=1，根据椭圆的方程与性质可得

1

a2

+

1

2b2

=1，a²=b²+c²，联立解可得a²、b²、c²的值，即可得答案；
（2）根据题意，直线l与⊙x²+y²=1相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径1，即

|m|

k2+1

=1，变形为m²=k²+1，联立椭圆与直线的方程，即

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，设由直线l与椭圆交于不同的两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则△＞0，解可得k≠0，可得x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=-

2m2-2

1+2k2

，进而将其代入y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）可得y₁•y₂关于k的表达式，又由

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，结合题意

2

3

≤λ≤

3

4

，解可得

1

2

≤k²≤1，根据弦长公式可得|AB|=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

，设u=k⁴+k²（

1

2

≤k²≤1），则

3

4

≤u≤2，将|AB|用u表示出来，由u∈[

3

4

，2]分析易得答案．

解答：解：（1）依题意，由

PF1

•

F1F2

=0，可得PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1，
将点p坐标代入椭圆方程可得

1

a2

+

1

2b2

=1，又由a²=b²+c²，
解得a²=2，b²=1，c²=1，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y²=1．
（2）直线l：y=kx+m与⊙x²+y²=1相切，则

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1，
由直线l与椭圆交于不同的两点A、B，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

x2 2 +y2=1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
△=（4km）²-4×（1+2k²）（2m²-2）＞0，化简可得2k²＞1+m²，
x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁•x₂=-

2m2-2

1+2k2

，
y₁•y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁•x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-2k2

1+2k2

=

1-k2

1+2k2

，

OA

•

OB

=x₁•x₂+y₁•y₂=

1+k2

1+2k2

=λ，

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，解可得

1

2

≤k²≤1，（9分）
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

设u=k⁴+k²（

1

2

≤k²≤1），
则

3

4

≤u≤2，|AB|=2

2u 4u+1

=2

1 2 - 1 2(4u+1)

，u∈[

3

4

，2]
分析易得，

6

2

≤|AB|≤

4

3

．（13分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，解此类题目，一般要联系直线与圆锥曲线的方程，得到一元二次方程，利用根与系数的关系来求解．