Question

【题目】已知，其中且．

（1）若，求的值；

（2）对于每一个给定的正整数，求关于的方程所有解的集合．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】分析：（1）利用已知化简，解得n=15.（2）首先归纳猜想猜想fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)，再证明猜想，最后得到对于每一个给定的正整数n，关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合为{－1，－2，…，－n}．

详解：（1）因为fn(x)＝x(x＋1)…(x＋i－1)，

所以fn(1)＝×1×…×i＝＝(n－1)×n!，gn(1)＝＋1×2×…×n＝2×n!，

所以(n－1)×n!＝14×n!，解得n＝15．

（2）因为f2(x)＋g2(x)＝2x＋2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x＋2)，

f3(x)＋g3(x)＝6x＋3x(x＋1)＋6＋x(x＋1)(x＋2)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)，

猜想fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．

面用数学归纳法证明：

当n＝2时，命题成立；

假设n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即fk(x)＋gk(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k)，

因为fk＋1(x)＝…(x＋i－1)

＝ x(x＋1)…(x＋i－1)＋x(x＋1)…(x＋k－1)

＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)，

所以fk＋1(x)＋gk＋1(x)＝(k+1) fk(x)＋(k+1) x(x＋1)…(x＋k－1)＋＋x(x＋1)…(x＋k)

＝(k+1)[ fk(x)＋x(x＋1)…(x＋k－1)＋]＋x(x＋1)…(x＋k)＝(k+1)[ fk(x)＋gk(x)]＋x(x＋1)…(x＋k).

＝(k+1)(x＋1)(x＋2)…(x＋k)＋x(x＋1)…(x＋k)

＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，

即n＝k＋1时命题也成立．

因此任意n∈N*且n≥2，有fn(x)＋gn(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．

所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程fn(x)＋gn(x)＝0所有解的集合为

{－1，－2，…，－n}．