题目内容
【题目】在三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC的投影G是ABC的外心,PB=BC=2,则面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60,则三棱锥PABC的外接球的表面积为______
【答案】
【解析】
作出图形,取的中点
,证明
垂直平面
,得出
,将题干中的二面角转化为其平面角,并计算出三棱锥
的高
,然后利用公式
可得出外接球的半径
,最后利用球体表面积公式可得出答案。
如下图所示:
由于为
的外心,则
,由题意知,
平面
,由勾股定理易得
,
取的中点
,由于G为
的外心,则
,且
,
平面
,
平面
,则
,又
,
,
平面
,
平面
,
,所以,
,
且平面与平面
所成的二面角的平面角为
,
,
因此,三棱锥的外接球的直径为 ,所以
,
三棱锥
的外接球的表面积
故答案为。
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