题目内容

如图,正四面体ABCD各棱长均为1,P,Q分别在棱AB,CD上,且
1
3
≤AP=CQ≤
2
3
,则直线PQ与直线BD所成角的正切值的取值范围是
[
1
2
,2]
[
1
2
,2]
分析:作PE∥AC,连接EQ,由题意,EQ∥BD,PE⊥EQ,则∠PQE为直线PQ与直线BD所成角,再考虑两个极端位置,即可求得结论.
解答:解:作PE∥AC,连接EQ,由题意,EQ∥BD,PE⊥EQ,则∠PQE为直线PQ与直线BD所成角
①AP=CQ=
1
3
时,PE=
2
3
AC,EQ=
1
3
AC,∴tan∠PQE=
PE
EQ
=2;
②AP=CQ=
2
3
时,PE=
1
3
AC,EQ=
2
3
AC,∴tan∠PQE=
PE
EQ
=
1
2

∴直线PQ与直线BD所成角的正切值的取值范围是[
1
2
,2]
故答案为:[
1
2
,2]
点评:本题考查线线角,考查分类讨论的数学思想,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
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