Question

（2013•怀化二模）如图所示，四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥面ABCD，PA=2，过点A作AE⊥PB，AF⊥PC，连接EF．
（1）求证：PC⊥面AEF；
（2）若面AEF交侧棱PD于点G（图中未标出点G），求多面体P-AEFG的体积．

Answer 1

分析：（1）通过证明AE⊥PC，AE⊥PC，AE∩AF=A，即可证明PC⊥面AEF．
（2）说明AG⊥面PDC，△AGF是直角三角形，求出PF=

2 3

3

，S AEFG=

2 3

3

，即可求解V_P-AEFG．

解答：解：（1）证明：∵PA⊥面ABCD，BC在面内，
∴PA⊥BC  BA⊥BC，BC∩BA=B，
∴BC⊥面PAB，
又∵AE在面PAB内∴BC⊥AE
∵AE⊥PB，BC∩PB=B，
∴AE⊥面PBC，
又∵PC在面PBC内∵AE⊥PC，
∵AE⊥PC，AE∩AF=A，
∴PC⊥面AEF．…（5分）
（2）PC⊥面AEF，∴AG⊥PC，
∵AG⊥DC，PC∩DC=C∴AG⊥面PDC，
∵GF在面PDC内∴AG⊥GF
∵△AGF是直角三角形，由（1）可知△AEF是直角三角形，AE=AG=

2

，EF=GF=

6

3

∴S AEF=

3

3

，S AGF=

3

3

，又AF=

2 6

3

，PF=

2 3

3

∴S AEFG=

2 3

3

，
∴VP-AEFG=

1

3

×

2 3

3

×

2 3

3

=

4

9

…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力．