题目内容
【题目】椭圆 的经过中心的弦称为椭圆的一条直径,平行于该直径的所有弦的中点的轨迹为一条线段,称为该直径的共轭直径,已知椭圆的方程为
.
(1)若一条直径的斜率为 ,求该直径的共轭直径所在的直线方程;
(2)若椭圆的两条共轭直径为 和
,它们的斜率分别为
,证明:四边形
的面积为定值.
【答案】
(1)解:设斜率为 的与直径平行的弦的端点坐标分别为
,
,
该弦中点为 ,则有
,
,
相减得: ,
由于 ,
,且
,所以得:
,
故该直径的共轭直径所在的直线方程为
(2)解:椭圆的两条共轭直径为 和
,它们的斜率分别为
,
四边形 显然为平行四边形,设与
平行的弦的端点坐标分别为
则 ,
,而
,
,
,故
,
由 得
的坐标分别为
,
故 ,同理
的坐标分别为
,
设点 到直线
的距离为
,四边形
的面积为
,
所以, ,
则 ,为定值
【解析】(1)考查中点弦问题 ,利用点差法求出直线方程 。
(2)设出直线方程,求出弦长,再求出点 C 到直线 A B 的距离为 d,求四边形 A C B D 的面积为 S 。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目