Question

已知椭圆的中心在坐标原点O，长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当直线l的斜率为1时，求△POQ的面积；
（3）若以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形，求满足该条件的直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由已知，设出椭圆的方程，分析可得椭圆长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，可得a、c的值，进而可得b的值，代入所设的椭圆方程即可得答案；
（2）根据题意，设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），联立两者方程即

x2+2y2=2 y=x-1

，可得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

；由三角形面积公式，计算可得答案；
（3）根据题意，分情况讨论，①当直线l与x轴垂直时，易得其不合题意，②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．联立

x2+2y2=2 y=k(x-1)

，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0；表示出两根之和、之积；又由y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）；可得y1y2=

-k2

1+2k2

根据矩形的性质，结合向量的数量积的运算，可得k²=2，可得k的值，进而可得直线的方程．

解答：解：（1）由已知，椭圆方程可设为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
∵长轴长为2

2

，离心率e=

2

2

，
∴b=c=1 ， a=

2

．
所求椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（2）因为直线l过椭圆右焦点F（1，0），且斜率为1，所以直线l的方程为y=x-1．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2+2y2=2 y=x-1

得3y²+2y-1=0，解得y1=-1，y2=

1

3

．
∴S△POQ=

1

2

|OF|•|y1-y2|=

1

2

|y1-y2|=

2

3

．
（3）当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x=1，此时∠POQ小于90°，OP，OQ为邻边的平行四边形不可能是矩形．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
由

x2+2y2=2 y=k(x-1)

可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

．
∵y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）
∴y1y2=

-k2

1+2k2

因为以OP，OQ为邻边的平行四边形是矩形?

OP

•

OQ

=0．
由

OP

•

OQ

=x1x2+y1y2=

2k2-2

1+2k2

+

-k2

1+2k2

=0得k²=2，
∴k=±

2

．
∴所求直线的方程为y=±

2

(x-1)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大，故此类问题能有效地考查考生分析问题、解决问题的能力，平时应作为重点来复习训练．