Question

如图，三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．
（ I） 求证：AB⊥平面PCB；
（II） 求异面直线AP与BC所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角C-PA-B的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（ I）由题设条件，易证得PC⊥AB，CD⊥AB，故可由线面垂直的判定定理证得AB⊥平面PCB；
（II）由图形知，过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF即可证得∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．在△PFA中求角即可．
（Ⅲ）由图形知，取AP的中点E，连接CE、DE，可证得∠CED为二面角C-PA-B的平面角，在△CDE中求∠CED即可．
解答：解：（I）证明∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB．
∵CD⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴CD⊥AB．
又PC∩CD=C，∴AB⊥平面PCB．
（II）过点A作AF∥BC，且AF=BC，连接PF，CF．
则∠PAF为异面直线PA与BC所成的角．
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF⊥AF．
由三垂线定理，得PF⊥AF．
则AF=CF=，PF=，
在Rt△PFA中，tan∠PAF==，
∴异面直线PA与BC所成的角为．
（III）取AP的中点E，连接CE、DE．∵PC=AC=2，∴CE⊥PA，CE=．
∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DE⊥PA．
∴∠CED为二面角C-PA-B的平面角．
由（I）AB⊥平面PCB，又∵AB=BC，可求得BC=．
在Rt△PCB中，PB=，．
在Rt△CDE中，sin∠CED=．
∴二面角C-PA-B大小的正弦值是．
点评：本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求异面直线所成的角以及二面角，两个求角题的解决关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角来，是求角的关键．