Question

设F₁、F₂是双曲线x²-y²=4的两焦点，Q是双曲线上任意一点，从F₁ 引∠F₁QF₂平分线的垂线，垂足为P，则点P的轨迹方程是

x²+y²=4

．

Answer 1

分析：点F₁关于∠F₁PF₂的角平分线PQ的对称点M在直线PF₂的延长线上，故|F₂M|=|PF₁|-|PF₂|=4，又OQ是△F₂F₁M的中位线，推出|OM|=2，由此可以求出点M的轨迹方程．

解答：解：点F₁关于∠F₁QF₂的角平分线PQ的对称点M在直线PF₂的延长线上，
故|F₂M|=|QF₁|-|QF₂|=4，
又OP是△F₂F₁M的中位线，
故|OP|=2，
点P的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆一部分，
则点P的轨迹方程为x²+y²=4．
故答案为：x²+y²=4．

点评：本小题主要考查轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题，解答关键是应用角分线的性质解决问题．