题目内容
【题目】设是实数,函数
.
(1)求证:函数不是奇函数;
(2)当时,解关于
的不等式
;
(3)求函数的值域(用
表示).
【答案】(1) 证明见解析(2)时,不等式解集为
;
时,不等式解集为
(3)
时,函数值域为
;
时,函数值域为
;
时,函数值域为
【解析】
(1)可以用反证法进行证明,假设是奇函数,应有
,而
,所以函数
不是奇函数;
(2)因为,所以当
时,不等式
可以化为
即
,因为
,所以
,即
,对
和
的情况进行分类讨论,解不等式;
(3)令,则
且
,对
和
的情况进行分类讨论,去绝对值符号,得到两种情况下的函数解析式,再分别计算函数值域
解:(1)假设是奇函数,那么
对于一切
恒成立,可得
,而
,所以函数
不是奇函数
(2)因为,所以当
时,不等式
可以化为
即
,因为
,所以
,即
①当,即
时,不等式
恒成立,故
的取值范围是
.
②当,即
时,不等式
得
,故
的取值范围是
(3)令,则
且
.
①若,则
是增函数,其取值范围为
;
②若,则
对于,有
.当
时,
是减函数,取值范围是
;当
时,
的最小值是
,
取值范围是
(
时)或者
取值范围是
(
时)
对于,有
是增函数,其取值范围为
综上所述,当时,值域为
;当
时,值域为
;当
时,值域为
.
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