Question

5．如图，过圆O外一点M作圆的切线，切点为A，过A作AP⊥OM于P．
（1）求证：OM•OP=OA²；
（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点．过B点的切线交直线ON于K．求证：∠OKM=90°．

Answer 1

分析 （1）在三角形OAM中考虑，因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM，从而由射影定理即得；
（2）结合（1）问的结论，利用比例线段证明两个三角形△ONP、△OMK相似，通过对应角相等即可得．

解答 证明：（1）因为MA是圆O的切线，
所以OA⊥AM，又因为AP⊥OM，
在Rt△OAM中，由射影定理知OA²=OM•OP，
故OM•OP=OA²得证．
（2）因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同（1）有：
OB²=ON•OK，又OB=OA，
所以OM•OP=ON•OK，即$\frac{ON}{OP}=\frac{OM}{OK}$，
又∠NOP=∠MOK，
所以△ONP～△OMK，
故∠OKM=∠OPN=90°．
即有：∠OKM=90°．

点评 本题考查的高考考点是圆的有关知识及应用、切割线定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．