题目内容

p:x2+2x+a≥0,q:|x-3|>2,若p是?q的必要不充分条件,求a的取值范围.
由|x-3|>2,得x-3>2或x-3<-2,
即x>5或x<1,即q:x>5或x<1,¬q:1≤x≤5,
∵p:x2+2x+a≥0,
∴若p是?q的必要不充分条件,
即¬q⇒p成立,p⇒¬q不成立,
即当1≤x≤5时,不等式x2+2x+a≥0恒成立,
即a≥-x2-2x,在1≤x≤5上恒成立,
设f(x)=-x2-2x,
则f(x)=-x2-2x=-(x+1)2+1,
∵1≤x≤5,
∴当x=1时,函数f(x)有最大值f(1)=-1-2=-3,
∴a≥-3.
即a的取值范围为[3,+∞).
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