题目内容

(本小题满分16分)已知函数.(Ⅰ)当时,求证:函数上单调递增;(Ⅱ)若函数有三个零点,求的值;

(Ⅲ)若存在,使得,试求的取值范围.

(Ⅰ) 见解析    (Ⅱ)   (Ⅲ)


解析:

(Ⅰ)…3分

由于,故当时,,所以

故函数上单调递增 ……5分

(Ⅱ)当时,因为,且在R上单调递增,故有唯一解 所以的变化情况如下表所示:

x

0

0

递减

极小值

递增

   又函数有三个零点,所以方程有三个根,

   而,所以,解得…11分

(Ⅲ)因为存在,使得

所以当时,…………12分

   由(Ⅱ)知,上递减,在上递增,

   所以当时,

   而

   记,因为(当时取等号),

   所以上单调递增,而

   所以当时,;当时,

   也就是当时,;当时,………………………14分

   ①当时,由

   ②当时,由

综上知,所求的取值范围为………16分

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