Question

【题目】在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，且，分别为的中点.

（1）求证：平面；

（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，请求出点的位置；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）存在，为的中点.

【解析】

试题分析：（1）根据题意可连接，与相交于点，易证，根据线面平行的判定定理即可证得平面；（2）取的中点，连接，可证得平面，以为原点，分别以射线和为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，不妨设，

，分别求出平面和平面的法向量，根据二面角的求法得到的方程，求出其值，若满足，则存在，否则不存在.

试题解析：（1）证明：连接，由正方形性质可知，与相交于点，

所以，在中，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分

又平面平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

所以平面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（2）取的中点，连接，

因为，所以，

又因为侧面底面，交线为，所以平面，

以为原点，分别以射线和为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，

，不妨设．．．．．．．．．．．．．．．． 6分

则有，假设在上存在点，

则．．．．．．．．．．．．．． 7分

因为侧面底面，交线为，且底面是正方形，

所以平面，则，

由得，

所以，即平面的一个法向量为．．．．．．．．．．．．．． 8分

设平面的法向理为，由即，亦即，可取．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 10分

解得（舍去）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以线段上存在点，且为的中点，使得二面角的余弦值为．．．．．．．12分