Question

15、若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^﹡，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为（a_n）⁺，则得到一个新数列{（a_n）⁺}．例如，若数列{a_n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1…已知对任意的n∈N⁺，a_n=n²，则（a₅）⁺=

2

，（（a_n）⁺）⁺=

n²

．

Answer 1

分析：根据题意，若a_m＜5，而a_n=n²，知m=1，2，∴（a₅）⁺=2，由题设条件可知（（a₁）⁺）⁺=1，（（a₂）⁺）⁺=4，（（a₃）⁺）⁺=9，（（a₄）⁺）⁺=16，于是猜想：（（a_n）⁺）⁺=n²．

解答：解：∵a_m＜5，而a_n=n²，∴m=1，2，∴（a₅）⁺=2．
∵（a₁）⁺=0，（a₂）⁺=1，（a₃）⁺=1，（a₄）⁺=1，
（a₅）⁺=2，（a₆）⁺=2，（a₇）⁺=2，（a₈）⁺=2，（a₉）⁺=2，
（a₁₀）⁺=3，（a₁₁）⁺=3，（a₁₂）⁺=3，（a₁₃）⁺=3，（a₁₄）⁺=3，（a₁₅）⁺=3，（a₁₆）⁺=3，
∴（（a₁）⁺）⁺=1，（（a₂）⁺）⁺=4，（（a₃）⁺）⁺=9，（（a₄）⁺）⁺=16，
猜想：（（a_n）⁺）⁺=n²．
答案：2，n²．

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题．仔细解答．