题目内容

2．已知数列{an}满足an=n•kn（n∈N*，0＜k＜1）给出下列命题：
①当k=$\frac{1}{2}$时，数列{an}为递减数列
②当$\frac{1}{2}$＜k＜1时，数列{an}不一定有最大项
③当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，数列{an}为递减数列
④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时，数列{an}必有两项相等的最大项
其中真命题的个数为（　　）
A．0B．1C．2D．3

分析 ①由于$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$取出反例说明结论错误
②由于$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$，再根据k的条件讨论即可得出．$\frac{n+1}{n}$一定有最大项，则说明②一定有最大项
③由$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，得出结论成立
④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，得出结论正确．

解答 解：①当k=$\frac{1}{2}$时，${a}_{n}=n（\frac{1}{2}）^{n}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）（\frac{1}{2}）^{n+1}}{n（\frac{1}{2}）^{n}}$=$\frac{n+1}{2n}$，当n=1时，a1=a2，因此数列{an}不是递减数列，故①不正确；
②当$\frac{1}{2}$＜k＜1时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=k+$\frac{k}{n}$，当n＞$\frac{1-k}{k}$时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$＜1，所以数列{an}一定有最大项．②不正确．
③当0＜k＜$\frac{1}{2}$时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$$＜\frac{n+1}{2n}$≤1，∴an+1＜an．
因此数列{an}为递减数列，③正确．
④当$\frac{k}{1-k}$为正整数时，$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{（n+1）{k}^{n+1}}{n{k}^{n}}$=$\frac{（n+1）k}{n}$=1，因此数列{an}必有两项相等的最大项，故④正确．
故选：C

点评 本题考查了数列的单调性、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

练习册系列答案
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