Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上，且AD＝PD＝4．

（1）证明：平面BEF⊥平面PAD；

（2）若PA∥平面BEF，求四棱锥F﹣BCDE的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2） .

【解析】

（1）证明PD⊥EB，EB⊥AD，推出BE⊥平面PAD，然后证明平面BEF⊥平面PAD；

（2）连接AC交BE于G，连接GF，证明PA∥FG，△AEC～△CBG，得到PF：FC＝AG：GC＝1：2，求出梯形BCDE的面积然后求解几何体的体积．

（1）证明：PD⊥平面ABCD，BE平面ABCD，所以PD⊥EB，

又底面ABCD是∠A＝60°的菱形，且点E是棱AD的中点，所以EB⊥AD，

又PD∩AD＝D，所以BE⊥平面PAD，BE⊥平面PAD，BE平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAD．

（2）连接AC交BE于G，连接GF，则GF＝平面PAC∩平面BEF，

因为PA∥平面BEF，所以PA∥FG，

因为底面ABCD是菱形，且点E是棱AD的中点，所以△AEC～△CBG，

且AG：GC＝AE：BC＝1：2，

所以PF：FC＝AG：GC＝1：2，

梯形BCDE的面积，

所以．