Question

【题目】已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是__________.

Answer 1

【答案】或

【解析】

当时，将问题转化为与函数、的交点个数，利用导数判断出、的单调性；然后研究在上的零点个数，利用判别式、对称轴以及函数过定点，分种三种情况即当时、当时或时，讨论的取值范围，从而得出结果.

由，

则，

当时，，恒过，

对称轴，

当时，，在上有两个零点，

当时，，在上有一个零点，

当时，在上无零点；

当时，令，则，

当时，，

当时，，

令，，

即在上单调递增，所以；

令，则，

下面分三种情况讨论：

（1）当时，在上有两个零点，只需在有一个零点即可，

由，在上单调递减，，

在上单调递增，

根据，显然成立，即在只有一个零点，

故满足题意；

（2）当时，在上有无零点，

当时，在上有一个零点，

由（1）可知，在只有一个零点，不满足题意；

（3）当时，需在有三个零点，

在上单调递增，，

在上单调递增，在上单调递减，

为的极大值，且，

在同一坐标系中作出函数的大致图像，如图：

与两函数有三个交点，则；

综上所述，或

故答案为：或