Question

定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f²（x）-1，现给定下列几个命题：
（1）f（x）≥-1；
（2）f（x）不可能是奇函数；
（3）f（x）不可能是常数函数；
（4）若f（x₀）=a（a＞1），则不存在常数M，使得f（x）≤M恒成立；
在上述命题中错误命题的个数为（　　）个．

A．4

B．3

C．2

D．1

Answer 1

分析：本题是一个多选题，对抽象表达式f（2x）=2f2（x）-1表达的函数性质进行推断，应该注意函数f（x）=cosx符合此表达式，易判断①②③的真假，至于选项④，显然不是函数f（x）=cosx的性质，应为真命题

解答：解：（1）∵f（x）=f（2×

x

2

）=2f²（

x

2

）-1≥-1，故（1）正确
（2）∵f（0）=2f²（0）-1，解得f（0）=1或-

1

2

，即f（0）≠0，f（x）不可能为奇函数，故（2）正确
（3）若f（x）=1，或f（x）=-

1

2

，则函数f（x）满足f（2x）=2f²（x）-1，故（3）错误
（4）若f（x₀）=a（a＞1），则此函数没有上界，即不存在常数M，使得f（x）≤M成立，故④正确
故选D

点评：本题考查了抽象函数表达式的意义，解题时要能透过现象看到本质，熟练的运用特殊函数，特殊值等方法准确做出判断