题目内容
已知非零向量| a |
| b |
| a |
| 3 |
| b |
| 1 |
| 3 |
| a |
| a |
| b |
分析：本题可以先利用向量的数量积求出函数f（x）的解析式，即：f(x)=
x3+
|
| x2+2
|
|2cos＜
，
＞x+1，然后利用极值存在，转化为开口向上的二次函数与x轴有两个交点，利用判别式△＞0可解得．
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
解答：解：由已知，f(x)=
x3+|
|x2+2|
|•|
|cos＜
，
＞x+1，
即f(x)=
x3+
|
| x2+2
|
|2cos＜
，
＞x+1，
所以f′(x)=x2+2
|
|x+2
|
|2cos＜
，
＞
要使函数 f(x)=
x3+|
|x2+2
•
x+1在R上有极值，注意到f′（x）为开口向上的二次函数，所以必须且只需其判别式△＞0，
即有：△=12|
|2-4×2
|
|2cos＜
，
＞＞0，即有：cos＜
，
＞ ＜
成立，得
＜＜
，
＞≤ π．
故答案为：(
，π]
| 1 |
| 3 |
| a |
| a |
| b |
| a |
| b |
即f(x)=
| 1 |
| 3 |
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
所以f′(x)=x2+2
| 3 |
| b |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
要使函数 f(x)=
| 1 |
| 3 |
| a |
| a |
| b |
即有：△=12|
| b |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
| a |
| b |
故答案为：(
| π |
| 6 |
点评：本题考查了向量与函数的综合知识，考查向量的数量积以及求向量的夹角，利用函数的导数研究极值，考查函数在实数集R上的条件．
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