Question

12．若函数f（x）在定义域内存在区间[a，b]使其在[a，b]上的值域为[a，b]则称之为优美函数；若函数f（x）=m-$\sqrt{x+3}$为“优美函数”，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 题目转化为方程m-$\sqrt{x+3}$=-x有两实根，换元数形结合可得．

解答 解：∵函数f（x）=m-$\sqrt{x+3}$为“优美函数”，
∴方程m-$\sqrt{x+3}$=-x有两实根，
设$\sqrt{x+3}$=t （t≥0），则x=t²-3，
∴关于t的方程m-t=-t²+3即m=-t²+t+3在[0，+∞）有两实根，
即函数y=m与函数y=-t²+t+3=-（t-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{13}{4}$的图象在[0，+∞）上有两个不同交点，
结合图象可得3≤m＜$\frac{13}{4}$

点评 本题考查函数的值域，理解新定义并数形结合是解决问题的关键，属中档题．