Question

【题目】已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，斜率为 的直线l与椭圆C交于A，B两点，点P（2，1）在直线l的上方，若∠APB=90°，且直线PA，PB分别与y轴交于点M，N，求线段MN的长度．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由椭圆的离心率e= = = ，则a2=4b2，

以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为8，则2× ×2a×b=8，则ab=4，

解得：a=2 ，b= ，

则椭圆的标准方程为： ；

（2）

解：设直线l的方程y= x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

则 ，整理得：x2+2mx+2m2﹣4=0，

△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，解得：﹣2＜m＜2，

x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，

则kPA= ，kPB= ，

则 kPA+kPB= + = ，

则（ x1+m﹣1）（x2﹣2）+（ x2+m﹣1）（x1﹣2），

=x1x2+（m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1），

=2m2﹣4+（m﹣2）（﹣2m）﹣4（m﹣1）=0，

∴kPA+kPB=0，

由∠APB=90°，则kPA=1，kPB=﹣1，

则△PMN是等腰直角三角形，则MN=2xP=4，

线段MN的长度4．

【解析】（1）由题意可知a2=4b2 ， ab=4，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l方程，代入椭圆方程，由韦达定理，直线的斜率公式求得kPA+kPB=0，则△PMN是等腰直角三角形，则MN=2xP=4，即可求得线段MN的长度．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用椭圆的标准方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．